• Учителю
  • Математика
  • Статья на тему Решение систем уравнений на основе ассоциаций, аналогий или заимствований

Статья на тему Решение систем уравнений на основе ассоциаций, аналогий или заимствований

Автор публикации:
Дата публикации:
Краткое описание:
предварительный просмотр материала

Министерство Образования и Науки Республики Татарстан

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №9 с углубленным изучением отдельных предметов» Елабужского муниципального района Республики Татарстан





















Решение систем уравнений на основе ассоциаций, аналогий или заимствований.





















Выполнила:

учитель математики

Н.Г. Распутина









Решение систем уравнений широко представлено в курсе математики как основной, так и средней школы. Широко известны основные методы решения систем: метод подстановки, метод алгебраического сложения, метод замены переменной. Однако, есть такие системы, для решения которых требуется нестандартный подход, нестандартные методы решения, так как обычные методы либо приводят к громоздким вычислениям, либо вовсе не позволяют решить систему. В своей статье я попыталась такие способы продемонстрировать. К числу нестандартных методов решения систем уравнений могут быть отнесены метод ассоциаций, аналогий и заимствований. Считаю, что материал, представленный в моей работе, поможет и учителям, и учащимся: первым - при подготовке и проведении уроков математики, вторым - при подготовке к ГИА и ЕГЭ.



























































Рассмотрим очень простой пример.



Пример 1.



Сразу можно решить эту систему известным методом подстановки:



Решим второе уравнение отдельно:

D=25-24=1

, =2

,=3

Ответ:

Но спросим себя: "Где нам встречались выражения "х + у" и "ху"? Возможно в предыдущих темах курса алгебры, а, возможно, в геометрии, физике. Но сразу же, конечно, припоминается теорема Виета, вернее, теорема, обратная теореме Виета: "Если х, у удовлетворяют равенствам х + у = -р, ху = q, то х и у - корни уравнения z2 + pz + q = 0".

Применение этой теоремы к искомым числам х и у позволяет утверждать, что х и у - корни уравнения z2 - 5z + 6 = 0.

После решения этого уравнения можем записать ответ:



т.е.

и



Эта же идея может реализоваться и при решении более сложных заданий.



Пример 2. Решить систему уравнений:





Система содержит три переменных, поэтому, скорее всего, имеет смысл применить теорему, обратную теореме Виета для многочлена третьей степени: "Если х, у, z удовлетворяют равенствам

х + у + z = -р, ху + yz + xz = q, xyz = -г, то x,y,z - корни уравнения

u3 + pu2 + qu + г = 0"

Следовательно, x,y,z - корни уравнения u3 - 6u2 + 11u - 6 = 0



Решая его, находим

, ,



Запишем ответ:

Пример 3.

Сразу бросается в глаза, что это необычная система, что в нее входят три переменных, а уравнений только два. Можно выразить одну переменную через другие из второго уравнения и подставить в первое. При реализации этой идеи много "неинтересных вычислений", поэтому поищем что-нибудь другое. Обратимся к первому уравнению. С чем оно ассоциируется? Во-первых, относительно x, первое уравнение является квадратным; во-вторых, имеются квадраты переменных и их произведения; в-третьих, напоминает что-то, связанное с неравенствами.

Покажем, что каждая из этих ассоциаций приводит к решению.



D=,

, следовательно , тогда

    (1)

    т.к. , , то равенство (1) возможно лишь в случае , т.е.

      Сложим почленно эти неравенства

      Равенство возможно в том и только в том случае, если

      Далее как в (1) и (2) Приходим к системе:

      Решая ее, находим

      Ответ

      Я посчитала, что интересным будет также решение систем, содержащих не только уравнения, но и неравенства, то есть смешанных систем.





      Пример 4. Решить систему:

      Выделим полный квадрат и преобразуем исходную систему к следующему виду:

      </ Если () - решение системы, то

      Тогда

      Выделяя полные квадраты в правой части последнего неравенства относительно либо , либо , получим

      (2)

      Заметим, что

      И что

      Теперь ясно, что неравенство (2) равносильно системе:

      (3)

      Итак, все решения системы (1) содержатся среди решений совокупности (3)

      Подстановкой убеждаемся, что решением исходной системы являются:





      Вот еще одно заимствование из алгебры:

      Пример 5.

      Разделим обе части второго уравнения на :

      Обозначим за a

      Решение этого уравнения приводит нас к следующей совокупности двух систем:

      Решая первую систему, находим:

      и

      Из второй системы получаем:

      и

      Ответ: (; (-3;1); (;(





      Пример 6.

      Рассмотрим первое уравнение системы:

      Перепишем его следующим образом:

      Получаем систему: , которая равносильна совокупности систем:

      Корней нет.

      Объединение множеств решений этих систем является множеством решений системы (1).

      Ответ:





      Пример 7.

      Перепишем первое уравнение системы в виде:

      Которая равносильна совокупности систем:

      1. 2)

      Корней нет.

      Ответ:





      Пример 8.

      или

      Корней нет.

      Ответ: (2;0), (0;2)



      Пример 9.

      Обозначим за a

      Получаем системы:

      Ответ: ); (;



      Пример 10.

      3

      или

      Корней нет.

      Ответ: (1;1); (3;3)



      Пример 11.

      Посмотрим на первое уравнение и рассмотрим переменные x и y. Решим первое уравнение относительно или решим относительно x:

      1. 2. 2

      Получаем системы: Получаем системы:

      и и

      Ответ: Ответ:





      Пример 12.

      +

      Это условие выполнится лишь в случае x=y=z=1





      Пример 13.

      Вычтем из первого уравнения второе:

      Откуда:

      Решая эту систему, получаем:







      Пример 14.

      Из системы получаем условие:

      , которое равносильно условию x=y=z

      3

      Получаем

      Ответ: (2;2;2), (-2;-2;-2)



      Пример 15.

      3

      или

      Корней нет.

      Ответ: (1;1), (3;3)



      Пример 16.

      (1)

      2

      Обозначим

      2

      Система (1) равносильна совокупности двух систем:

      1. 3 2.

      Ответ: (



      Пример 17.

      1. 2.

      Ответ: (2;-3), (2;1), (-2;-1), (-2;3)



      Пример 18.

      или

      Ответ: (0; 1)



      Пример 19.

      или

      1. 3 2. 3

      - 3

      Корней нет

      Ответ: (1;1), (-1;-1)



      Пример 20.

      Складываем почленно:

      или

      Ответ: (0;



      Пример 21.

      1. 2.

      Ответ: (-1;2), (, (0;1)

      Пример 22.

      Составим 2 системы:

      - -

      Ответ: (8;-2), (-2;8), (-8;2), (-2;-8)



      Пример 23.

      (

      -

      Ответ: (, (

      Пример 24.



      Пусть x=t, где t>0

      y=z, где z>0

      Тогда система примет вид:

      Тогда x=5; x=

      y=1; y=

      Ответ: (5;1), (-5;-1), (5;-1), (-5;1)



      Пример 25.

      Заменяя u=x+y, v=xy, приходим к системе:

      Решив которую, получаем:

      и , т.е.

      Решая эти системы, основываясь на теорему, обратную теореме Виета, получаем ответы:

      (-2;3), (3;-2), (0;4), (4;0)

      Литература.



      1. Н.И.Зильбергер. Алгебра - 9 для углубленного изучения математики. Псков, 1999г.

      2. Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков. Алгебра - 9. Учебник для школ и классов с углубленным изучением математики. Москва, 2003г.

      3. С.В.Кравцов, Ю.Н.Макаров и др. Методы решения задач по алгебре. Москва, 2003г.

      4. М.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Москва, «Просвещение», 1997г.

      5. А.С.Мерзляков, Л.Э.Медников. Математическая олимпиада. Ижевск, 1997г.





      если материал вам не подходит, воспользуйтесь поиском
      X

      Чтобы скачать данный файл, порекомендуйте его своим друзьям в любой соц. сети.

      После этого кнопка ЗАГРУЗКИ станет активной!

      Кнопки рекомендации:

      загрузить материал